1. 基本原理
通过一个变换,将输入图像的灰度级转换为`均匀分布`,变换后的灰度级的概率密度函数为
$$P_s(s) = \frac{1}{L-1}$$
直方图均衡的变换为
$$s = T(r) = (L-1)\int_0^r {P_r(c)} \,{\rm d}c $$
$s$为变换后的灰度级,$r$为变换前的灰度级$P_r(r)$为变换前的概率密度函数2. 测试结果
图源自skimage
3.代码
import numpy as np def hist_equalization(input_image): ''' 直方图均衡(适用于灰度图) :param input_image: 原图像 :return: 均衡后的图像 ''' output_imgae = np.copy(input_image) # 输出图像,初始化为输入 input_image_cp = np.copy(input_image) # 输入图像的副本 m, n = input_image_cp.shape # 输入图像的尺寸(行、列) pixels_total_num = m * n # 输入图像的像素点总数 input_image_grayscale_P = [] # 输入图像中各灰度级出现的概率,亦即输入图像直方图 # 求输入图像中各灰度级出现的概率,亦即输入图像直方图 for i in range(256): input_image_grayscale_P.append(np.sum(input_image_cp == i) / pixels_total_num) # 求解输出图像 t = 0 # 输入图像的灰度级分布函数F for i in range(256): t = t + input_image_grayscale_P[i] output_imgae[np.where(input_image_cp == i)] = 255 * t return output_imgae
4. 数学证明目标变换
- $$S = T(r) = (L-1)\int_0^rp_r(w)dw$$
- $T(r)$为严格单调函数,可保证反映射时,消除二义性$p_r(w)$为源图像归一化后的直方图
4.1 假定
- 图像灰度级为:$[0, L-1]$
- 源图像中,$k$灰度级的像素个数:$n_k$
- 源图像像素总数:$n$原图像直方
- 图$h(r_k) = n$4.2 归一化后的直方图
$$p(r_k) = n_k / n$$
$p(r_k)$即为灰度级$r_k$在源图像中出现的概率估计
4.3 证明
概率密度函数的积分为分布函数,即对分布函数的导数为概率密度函数。
因为$p_r(r)$与$T(r)$已知,则由
$$\frac{{\rm d}r}{{\rm d}S} = \frac{p_s(s)}{p_r(r)}$$
又因为
$$S = T(r)$$
即
$$\frac{{\rm d}S}{{\rm d}r} = \frac{T(r)}{r}$$
联立上三式及目标变换
$$S = T(r) = (L-1)\int_0^rp_r(w)dw$$
可得
$$p_s(s) = \frac{1}{L-1}$$
故,这意味着变换之后的图像的灰度级为均匀分布,证毕。
总结
以上所述是小编给大家介绍的Python实现直方图均衡基本原理解析,希望对大家有所帮助,如果大家有任何疑问请给我留言,小编会及时回复大家的。在此也非常感谢大家对网站的支持!
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2024年10月09日
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